如圖所示：有三根針和套在一根針上的n個金屬薄片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上．
（2）在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能
放在較小的金屬片上面．將n個金屬片從1號針
移到3號針最少需要移動的次數記為f(n)；
則：（Ⅰ）f(3) =？
這道題的背景是一段關于“世界末日”的傳說。在印度北部的一個佛教的圣廟里，桌上的黃銅板上，放著三根寶石針，每根長約0.5米。據說印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界時，在其中的一根針上，自上而下由大到小放了六十四片金片。每天二十四小時內，都有僧侶值班，按照以下的規(guī)律，不停地把這些金片在三根寶石針上移來移去：每次只準移動一片，且不論在那根針上，較小的金片只能放在較大的金片上。當所有六十四片金片都從梵天創(chuàng)造世界時所放的那根針上移到另一根針上時，世界的末日就要到臨。
我們現在想知道僧侶移動完畢這六十四片金片需要多少時間？
設原來放置金片的寶石針為甲，其它兩根針為乙、丙。
1．金片只有一片。顯然，只要移動1次即可。
2．金片只有二片?？上葘⑤^小金片移至乙針上，較大金片移至丙針上，再將較小金片從乙針移至丙針上，共移動3次。
3．金片有三片?？上葘⑸厦鎯善鹌频揭疑?。按2可知，共需移動3次。再把第三片移至丙，又移一次。下面把乙上兩片移至丙同2，還需三次。以上共需2x3+1=7（次）。
4．金片有四片。先把上面三片移至乙，按3需7次。再把第四片從甲移到丙上，又移一次。最后，把較小的三片從乙移至丙，又需移7次。以上共需移動2x7+1=15（次）。
依此遞推下去。設有k片金片，先將k-1片移至乙，需移動Sk-1次。然后再把第k片移至丙，又移一次。最后把k-1片從丙移至乙，又需Sk-1次。以上共需移動(2·Sk-1+1）次。
這樣，我們可以得到如下的遞推式： Sk=2·Sk-1+1。
根據這個遞推公式，可得：SK+1=2(SK-1+1) 即 Sk=2k-1
令k=64，得 S64=264-1=18446744073709551615
如果僧侶移動金片一次需要1秒鐘，移動這么多次共需約5845億年。按照現代的宇宙進化論，恒星、太陽、行星（包括地球）是在三十億年前由不定形物質形成的，太陽系的整個壽命要短于二百億年，遠不等僧侶們完成任務，地球早已毀滅了。
與這個傳說類似的還有：印度國王打算重賞象棋發(fā)明人、宰相西薩·班·達依爾。這位聰明的大臣拿出棋盤對國王說，你只要棋盤上的第一格放1粒麥子，第二格放2粒麥子，第三格放4粒麥子，照此下去，每格比前一格增加一倍，直至放滿棋盤的64格為此，他就滿足了。一袋袋麥子被扛到國王面前來，但麥粒數一格接一格飛快增長著，國王很快就看出，即便拿全印度的糧食，也兌現不了他對達依爾的諾言。
原來，所需麥?？倲?/span>
1+2+22+23+24+……+263=264-1=18446744073709551615
這些麥子究竟有多少？如果造一個倉庫來放這些麥子，倉庫高4公尺，寬10公尺，那么倉庫的長度就等于地球到太陽的距離的兩倍。而要生產這么多的麥子，全世界要兩千年。
R·柯朗在《數學是什么》中說：“數學作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、慎密周詳的推理，以及對完美境界的追求?！?/span> 數學其實就是從量的角度把握和解釋世界的一種努力，所以數學是一種思想，一種解釋世界的方式，一種精密的語言系統(tǒng)。數學是對現實世界的數量關系和空間形式的概括和反映。
作為人類智慧的偉大結晶，數學理應受到尊敬和推崇。在高中數學課程《標準》中提到：“數學作為人類文化的重要組成部分，構成了公民所必須具備的一種基本素質。數學科學歷來是自然科學和社會科學的基礎……越來越廣泛的數學應用，正在不斷地滲入社會生活的方方面面?！叨劝l(fā)展的數學思維成為人類社會進步的重要標志。”正如美國數學史家M·克萊因所說的那樣，“任何時候，誰想找一個推理的必然性和準確性的例子，一定會想到數學?！彼鴮祵W做過這樣的描述：“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，但數學卻能提供以上的一切，給人快樂”。
數學依靠兩樣東西：邏輯與創(chuàng)造。
人們對數學的追求則有兩個目的：各種實用的目的以及數學的內在趣味。對于一些人，數學的精髓在于它的美妙和它對于智力的挑戰(zhàn)。“數學是最聰明人之間的較量，因此非常具有挑戰(zhàn)性，同時，數學的美麗使研究數學成為一種樂趣”。這就是菲爾茲獎得主、美國數學家符拉基米爾·福沃特斯對常人眼中枯燥的數學的認識。
