數(shù)學(xué)與物理學(xué)從來就是一對孿生兄弟，可靠的數(shù)學(xué)工具是物理學(xué)家研究的一大助力，物理學(xué)發(fā)展的現(xiàn)實需要也不斷刺激著數(shù)學(xué)的發(fā)展。
數(shù)學(xué)與物理學(xué)包括力學(xué)的關(guān)系源遠(yuǎn)流長。數(shù)學(xué)的大部分內(nèi)容，包括微積分在內(nèi)，基本上是在與物理學(xué)和力學(xué)的聯(lián)系中發(fā)展的。物理學(xué)家處理的問題，從數(shù)學(xué)的角度看往往是極其有趣、困難和富有挑戰(zhàn)性的。因此，尋求這些問題的客案及其解決方法一直是數(shù)學(xué)的活力的來源，這一點連孤傲的“純粹”數(shù)學(xué)家哈代也贊同，他甚至把麥克斯韋、愛因斯坦等人都視為數(shù)學(xué)家。
早在17世紀(jì)，牛頓就是數(shù)學(xué)與物理、力學(xué)緊密結(jié)合的化身。牛頓發(fā)明微積分具有明顯的運動學(xué)背景，其“流數(shù)(fluxion,即導(dǎo)數(shù))概念就是以速度為原型的。反過來，微積分成為牛頓解決天文力學(xué)問題的有力武器。特別是在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》書中，牛頓借助微積分證明了在與到引力中心的距離平方成反比的引力作用下，被吸引天體必沿橢圓軌道運行，而引力中心在其一個焦點上(當(dāng)初始速度足夠大時,物體也可能沿其他圓錐曲線——拋物線或雙曲線——運動)。事實上，牛頓使全部開普勒的行星運動經(jīng)驗定律變成為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推論，在世人面前打開了本地道用數(shù)學(xué)語言寫成的宇宙之書。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們繼續(xù)譜寫著這本宇宙之書，到19世紀(jì)，這本書的內(nèi)容擴(kuò)充到了電學(xué)和電磁學(xué)，而進(jìn)入20世紀(jì)以后，隨著物理學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)相繼在應(yīng)用于相對論量子力學(xué)以及基本粒子理論等方面取得了一個又一個突破。
行星軌道
在狹義相對論和廣義相對論的創(chuàng)立過程中，數(shù)學(xué)都建有奇功。1907年，德國數(shù)學(xué)家閔可夫斯基(H·Minkowski, 1864~ 1909)提出“閔可夫斯基空間”。即將時間和空間融合在一起的四維時空。閔可夫斯基幾何為愛因斯坦狹義相對論提供了合適的數(shù)學(xué)模型。有了閔可夫斯基時空模型后，愛因斯坦又進(jìn)一步研究引力場理論以建立廣義相對論。1912年夏，他已經(jīng)概括出新的引力理論的基本物理原理，但為了實現(xiàn)廣義相對論的目標(biāo)，還必須尋求理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，一個很重要的要求是使引力定律在坐標(biāo)變換下保持不變(即所謂協(xié)變)。愛因斯坦為此徘徊彷徨了3年時間，最后在他的大學(xué)同學(xué)數(shù)學(xué)家格羅斯曼(M·Grossman)介紹下學(xué)習(xí)掌握了意大利數(shù)學(xué)家勒維奇維塔等在黎曼幾何基礎(chǔ)上發(fā)展起來的絕對微分學(xué)，亦即愛因斯坦后來所稱的張量分析，并很快發(fā)現(xiàn)這正是建立廣義相對論引力理論的合適的數(shù)學(xué)工具。在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦終于導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力方程：
（是黎曼度規(guī)張量）
愛因斯坦指出，“由于這組方程，廣義相對論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成”。廣義相對論這幢大廈現(xiàn)在可以蓋上金頂了，而這個金頂依靠的恰恰是數(shù)學(xué)。
后來，在回顧這段歷史時，愛因斯坦坦率地承認(rèn)了他過去輕視數(shù)學(xué)是一個極大的錯誤，他反省道:“在幾年獨立的科學(xué)研究之后,我才逐漸明白了在科學(xué)探索的過程中，通向更深入的道路是同最精密的數(shù)學(xué)方法聯(lián)系在一起的。”這是愛因斯坦自己的話是作為一個科學(xué)家的深切體會。
愛因斯坦
根據(jù)愛因斯坦的引力場方程從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出來的結(jié)論，有一些后來被實驗證實了，例如光線在引力場中的彎曲行為(1919年一次日全食過程中觀察到的星光彎曲曾轟動世界)。按照愛因斯坦理論，空間是彎曲的，上列方程中的未知量是度規(guī)張量gμv，空間的形式是靠這個張量來描述的，一旦知道了空間的物質(zhì)分布，從理論上就可解出這些度規(guī)張量，這個空間的形式也就知道了。按照微分幾何學(xué)，一般情況下解出的空間曲率是不等于零的，曲率不等于零表示空間有彎曲，但是空間彎曲的理論在愛因斯坦以前數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)創(chuàng)造出來了，那就是在19世紀(jì)初葉高斯和俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基、匈牙利數(shù)學(xué)家波約等人創(chuàng)立并經(jīng)黎曼等人發(fā)展的非歐幾何學(xué)。高斯曾稱這種幾何為“星空幾何”，羅巴切夫斯基也堅信自己發(fā)現(xiàn)的新幾何總有一天“可以像別的物理規(guī)律一樣用實驗來檢驗”，愛因斯坦的廣義相對論恰恰揭示了非歐幾何的現(xiàn)實意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最精彩的例子之一。
愛因斯坦的廣義相對論后來又有了很大的發(fā)展，這些發(fā)展大都也與數(shù)學(xué)密切相關(guān)，可以說是物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家共同努力的結(jié)果。最突出的如英國劍橋大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系霍金教授，霍金用數(shù)學(xué)方法嚴(yán)格證明了愛因斯坦方程中奇點的存在性，并據(jù)而發(fā)展了宇宙大爆炸理論和黑洞學(xué)說，這些理論深刻地影響著人類的時空觀和宇宙觀，在社會公眾中引起了極大的興趣?；艚鹩?002年國際數(shù)學(xué)家大會期間在中國北京、杭州等地做通俗報告講解他的宇宙理論，可以說在當(dāng)時公眾中引起了一場不小的數(shù)學(xué)熱。
20世紀(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)用與物理學(xué)的另一項經(jīng)典成果是量子力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的確立。我們知道，20世紀(jì)初,普朗克、愛因斯坦和玻爾等創(chuàng)立了量子力學(xué)，但到1925年為止，還沒有一種量子理論能以統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)來概括這一領(lǐng)域已經(jīng)積累的知識，當(dāng)時的量子力學(xué)可以說是本質(zhì)上相互獨立的，有時甚至相互矛盾的部分的混合體。1925年有了重要進(jìn)展，由海森堡建立的矩陣力學(xué)和由薛定諤發(fā)展的波動力學(xué)形成了兩大量子理論，而進(jìn)一步將這兩大理論融合為統(tǒng)一的體系，便成為當(dāng)時科學(xué)界的當(dāng)務(wù)之急。恰恰在這時，數(shù)學(xué)又起了意想不到但卻是決定性的作用。1927年，希爾伯特和馮·諾伊曼等合作發(fā)表了論文《論量子力學(xué)基礎(chǔ)》，開始了用積分方程等分析工具來統(tǒng)一量子力學(xué)的努力。在隨后兩年中，馮·諾伊曼又進(jìn)一步利用他從希爾伯特關(guān)于積分方程的工作中提煉出來的抽象希爾伯特空間理論，去解決量子力學(xué)的特征值問題并最終將希爾伯特的譜理論推廣到量子力學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的無界算子情形，從而奠定了量子力學(xué)的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1932年，馮·諾伊曼發(fā)表了總結(jié)性著作《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，完成了量子力學(xué)的公理化。
現(xiàn)在越來越清楚，希爾伯特20世紀(jì)初關(guān)于積分方程的工作以及由此發(fā)展起來的無窮維空間理論，確實是量子力學(xué)的非常合適的數(shù)學(xué)工具，量子力學(xué)的奠基人之一海森堡后來說：“量子力學(xué)的數(shù)學(xué)方法原來就是希爾伯特積分方程理論的直接應(yīng)用，這真是一件特別幸運的事情！”而希爾伯特本人則深有感觸地回顧道：“無窮多個變量的理論研究，完全是出于純粹數(shù)學(xué)的興趣,我甚至管這理論叫譜分析,當(dāng)時根本沒有預(yù)料到它后來會在實際的物理光譜理論中獲得應(yīng)用”。
微觀粒子
抽象的數(shù)學(xué)成果最終成為其他科學(xué)新理論的仿佛是事先定做的工具，在20世紀(jì)下半葉又演出了精彩的一幕，這就是大范圍微分幾何在統(tǒng)一場論中的應(yīng)用。廣義相對論的發(fā)展，逐漸促使科學(xué)家們?nèi)で箅姶艌雠c引力場的統(tǒng)一表述，這方面第一個大膽的嘗試是數(shù)學(xué)家外爾在1918年提出的規(guī)范場理論，外爾自己稱之為“規(guī)范不變幾何”。統(tǒng)一場論的探索后來又?jǐn)U展到基本粒子間的強(qiáng)相互作用和弱相互作用。1954年,物理學(xué)家楊振寧和米爾斯(R·L·Mills)提出“楊-米爾斯理論”，揭示了規(guī)范不變性可能是所有四種(電磁、引力、強(qiáng)、弱)相互作用的共性,開辟了用規(guī)范場論來統(tǒng)一自然界這四種相互作用的新途徑。數(shù)學(xué)家們很快就注意楊-米爾斯理論所需要的數(shù)學(xué)工具早已存在，物理規(guī)范實際上就是微分幾何中纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，20世紀(jì)三四十年代以來已經(jīng)得到深入的研究。不僅如此，人們還發(fā)現(xiàn)規(guī)范場的楊-米爾斯方程是一組在數(shù)學(xué)上有重要意義的非線性偏微分方程1975年以來，對楊米爾斯方程的研究取得了許多重要結(jié)果。
這里值得一提的是，對微分幾何纖維叢理論作出重大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家中，恰恰也有一位華裔學(xué)者，他就是現(xiàn)代微分幾何大師陳省身。早在1943~1944年在普林斯頓高等研究所作研究員時，陳省身就在微分幾何領(lǐng)域解決了當(dāng)時“最重要和最困難”的問題——給出了高斯-博內(nèi)公式一個新的內(nèi)蘊(yùn)證明，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)了“陳示性類”,將微分幾何帶人了一個新紀(jì)元。當(dāng)楊振寧1954年發(fā)表關(guān)于規(guī)范場的研究結(jié)果時，楊和陳先后幾個時期都生活在同一城市，又是好友，時常討論各自的工作，開始卻都沒有意識到他們的工作相互間有密切的關(guān)系。20世紀(jì)60年代未期，楊振寧察覺到物理學(xué)中的規(guī)范場強(qiáng)度和數(shù)學(xué)中的黎曼幾何曲率有極密切的關(guān)系。經(jīng)過一番努力，他終于弄明白了微分幾何的纖維叢和其上的“聯(lián)絡(luò)”等基本概念，并分析出麥克斯韋理論和非阿貝爾規(guī)范場論與纖維叢的關(guān)系，讀懂了陳省身韋伊定理。楊振寧說他在搞清楚這個深奧美妙的定理后，真有一種觸電的感覺，忽然間領(lǐng)悟到，客觀的宇宙奧秘與純粹按優(yōu)美這一價值觀發(fā)展出來的數(shù)學(xué)觀念竟然完全吻合。他在一次紀(jì)念愛因斯坦誕生百周年的會議上講道：
“在1975年，明白了規(guī)范場和纖維叢理論的關(guān)系之后，我開車到陳省身教授在伯克利附近的艾爾塞雷托(EL Cerrito)寓所。我們談了許久，談到朋友、親人以及中國，當(dāng)話題轉(zhuǎn)到纖維叢時，我告訴陳教授，我終于從西蒙斯那里明白了纖維叢理論和陳省身-韋伊定理的美妙。我說，物理學(xué)的規(guī)范場正好是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，而后者是在不涉及物理世界的情況下發(fā)展出來的，這實在令我驚異。我還加了一句：'這既使我震驚，也令我迷惑不解，因為你們數(shù)學(xué)家是憑空夢想出這些概念，’他當(dāng)時馬上提出異議:'不，不。這些概念不是夢想出來的。它們是自然的，也是實在的。’”
楊振寧
另一位諾貝爾物理學(xué)獎獲得者溫伯格(S·Weinberg)也曾驚嘆過數(shù)學(xué)與物理的巧合，他認(rèn)為這是不可思議的：當(dāng)一物理學(xué)家得到一種思想時，然后卻發(fā)現(xiàn)在他之前數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，他舉的一個典型的例子是關(guān)于群論的。
溫伯格
群論是19世紀(jì)早期法國天才數(shù)學(xué)家E.伽羅瓦發(fā)明的，目的是解決任意多項式方程的根式可解性問題。歷史上當(dāng)2次方程及順次而來的3次方程，4次方程成功地用根式解出后，數(shù)學(xué)家們曾堅定地相信5次方程也能類似地求解。兩個世紀(jì)后,J·拉格朗日才首先意識到這是不可能的；又過了半個世紀(jì)，N·阿貝爾證明了一般的5次方程不可能用根式求解。那么，什么樣的方程才能用根式來求解呢？伽羅瓦完滿地回答了這問題。他用群的概念來刻畫根的置換對稱性。伽羅瓦的置換群后被發(fā)展為一般的抽象群，這是數(shù)學(xué)中最深刻、影響最深遠(yuǎn)的概念之一。特別是，物理學(xué)家們發(fā)現(xiàn)群論正是他們所需要的描述一般對稱性的精確語言：空間平移不變直接導(dǎo)出粒子的動量守恒，轉(zhuǎn)動對稱性則導(dǎo)出角動量守恒，而能量守恒則是時間平移不變的結(jié)果，對稱性維持著自然世界的秩序，群的重大意義就不言而喻了。事實上，早在19世紀(jì)末,群論已被用于晶體結(jié)構(gòu)的研究。到了20世紀(jì)，群論更出人意料地成為研究基本粒子的法寶。然而正如以上所看到的，伽羅瓦當(dāng)初的動機(jī)完全是數(shù)學(xué)內(nèi)部的，如今他的發(fā)明卻不僅深入到數(shù)學(xué)的每個領(lǐng)域，而且已成為自然科學(xué)許多分支中的非常適用的語言。
