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對(duì)數(shù)

讓計(jì)算變得簡(jiǎn)單

歐拉公式e^(iπ)+1=0，被稱為數(shù)學(xué)中最完美的公式，公式中的e、π、i、1和0五個(gè)元素還分別被比喻成射雕英雄傳里的五大高手：東邪西毒南帝北丐中神通。

鑒于常常有人在后臺(tái)問(wèn)超模君，e和π為什么常常會(huì)出現(xiàn)在似乎不相關(guān)的領(lǐng)域？e和π之間有什么聯(lián)系嗎？e^π和π^e誰(shuí)大？之類的問(wèn)題。

今天超模君就給大家扒一扒e和π。

說(shuō)到e，又得提歐拉了，哪哪都有他，真是一個(gè)神奇的男子。自然數(shù)e正是以

Leonhard Euler(萊昂納德·歐拉)命名的，取的是Euler的首字母“e ”。

在17~18世紀(jì)，伯努利家族是一個(gè)學(xué)術(shù)世家，雅可比·伯努利是約翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥，而約翰·伯努利則是歐拉的數(shù)學(xué)老師。

假如你有1塊錢存入銀行，銀行同意付給你100%的年利率。

那么當(dāng)然到了一年后，你手里的錢就增長(zhǎng)為（1+100%）=2塊錢；

現(xiàn)銀行同意按復(fù)利計(jì)算，把一年期的年利率拆成兩個(gè)半年期利率50%，那么年底到手的錢為：（1+50%）×（1+50%）=2.25塊錢；

現(xiàn)銀行按照季度計(jì)算復(fù)利，那么年底到手的錢為：（1+25%）×（1+25%）×（1+25%）×（1+25%）=2.44塊錢；

我們可以看到分的越細(xì)，總收入越多。如果把這個(gè)復(fù)利計(jì)算過(guò)程繼續(xù)細(xì)分，按天算，年底到手的錢為：

如果在細(xì)分為時(shí)分秒呢？經(jīng)過(guò)迭代運(yùn)算，可以得到一下數(shù)值：

可以發(fā)現(xiàn)結(jié)算利率期數(shù)n越大，年底到手的錢越多，最終無(wú)限接近e值。

也就是說(shuō)，本金一塊錢定了，銀行的年利率（100%）定了，無(wú)論分多少期結(jié)算利息，年底到手的錢無(wú)限接近一個(gè)值（2.7183）。

e的本質(zhì)含義就是累積增長(zhǎng)的極限，e寫成高等數(shù)學(xué)微積分的形式，也是e的定義式為：

圓周率π最早提出來(lái)是在1748年，歐拉的代表作《無(wú)窮小分析引論》出版，在這本著作里，歐拉建議用符號(hào)“π”來(lái)表示圓周率，并且直接在里面使用了π。在歐拉的積極倡導(dǎo)下，π才成為了圓周率的代名詞。

雖然π的定義很簡(jiǎn)單，但是關(guān)于圓周率的計(jì)算卻歷經(jīng)了幾千年，都還沒(méi)有算到盡頭呀。

最近的記錄是今年，3月14日，谷歌宣布圓周率現(xiàn)已到小數(shù)點(diǎn)后31.4萬(wàn)億位。

關(guān)于圓周率的計(jì)算方法五花八門，甚至到了無(wú)奇不有的境界（超模君在去年盤點(diǎn)過(guò)的算法傳送門）。

說(shuō)到圓周率還有一個(gè)不得不提的人，就是我國(guó)的數(shù)學(xué)家祖沖之。

公元480年左右，南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的結(jié)果，給出不足近似值3.1415926和過(guò)剩近似值3.1415927。正確位數(shù)達(dá)7位數(shù)，在那個(gè)時(shí)候可以說(shuō)是非常精準(zhǔn)，在之后的900多年都沒(méi)人打破記錄。

講完了e和π的出身了，那么e個(gè)π之間是否存在什么關(guān)系呢？

畢竟有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：帶e的定積分積出來(lái)里頭有π，而三角函數(shù)的積分有一些積出來(lái)里頭有e。

其實(shí)e和π在本質(zhì)上是沒(méi)有任何關(guān)系的。

之所以出現(xiàn)“帶e的定積分積出來(lái)里頭有π，而三角函數(shù)的積分有一些積出來(lái)里頭有e”這種情況，是因?yàn)楦道锶~展開(kāi)與e有關(guān)的函數(shù)，如e^x或者lnx在傅立葉展開(kāi)后都可以變成一個(gè)三角函數(shù)的級(jí)數(shù)，只要取好合適的積分區(qū)間自然會(huì)出現(xiàn)π。

加上歐拉用了一條公式把它們巧妙地連接在一起，那條公式就是非常出名的歐拉公式：e^(iπ)+1=0。這讓很多人誤以為，e和π本來(lái)就存在著某種關(guān)系。

也有人會(huì)不解：為什么e和π會(huì)常常出現(xiàn)在那些似乎不太相關(guān)的學(xué)科呢？比如說(shuō)物理化學(xué)等學(xué)科。

那是因?yàn)樯婕暗轿⒎e分和指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，e和π都喜歡來(lái)湊熱鬧。高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是科學(xué)之王。王自然掌控這一切，數(shù)學(xué)掌控著科學(xué)。

說(shuō)到了e和π，自然逃不掉e^π和π^e哪個(gè)大的問(wèn)題。

顯然，e^π要大于π^e。

e的定義法，你看這名字，逼格就上來(lái)了，顧名思義，用e的定義去解題。

由

得

令

則

即 

這個(gè)方法，看起來(lái)稍微有點(diǎn)復(fù)雜，沒(méi)有那么好理解。

為了讓大伙能看明白，那來(lái)個(gè)簡(jiǎn)單的構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)法：

設(shè)

求導(dǎo)得

在

嚴(yán)格單調(diào)遞減，因此

可得

18世紀(jì)，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系。在1770年出版的一部著作中，歐拉首先使用來(lái)定義 

對(duì)數(shù)曾經(jīng)和解析幾何、微積分被公認(rèn)是17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大重要成就，許多科學(xué)家對(duì)對(duì)數(shù)的提出表示高度的贊揚(yáng)。

這里的取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法可見(jiàn)一斑。

先分別取對(duì)數(shù)

設(shè)

則

即

乍一看，e^π 和π^e的值相差很近，但用簡(jiǎn)單的加減乘除法根本無(wú)法完成大小的比較，對(duì)數(shù)的出現(xiàn)讓這一切變得簡(jiǎn)單。

本來(lái)還以為e^π 和π^e哪個(gè)大是什么大難題，這不很簡(jiǎn)單嗎？搞得多難似的

，超模君8歲的表妹都會(huì)比較了，