中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：幾何中的邏輯思維與形象思維
2014-11-21 14:48
來(lái)源：上海新東方
作者：鄧娟
淺談幾何中的邏輯思維與形象思維
所謂邏輯思維,即是人們運(yùn)用概念、判斷、推理等思維形式及其邏輯結(jié)構(gòu),反映客觀事物的內(nèi)在本質(zhì)或規(guī)律性活動(dòng)的思維過(guò)程。它是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)客觀事物的過(guò)程中,以對(duì)感性認(rèn)識(shí)材料加工制作為基礎(chǔ)所形成的理性認(rèn)識(shí)。這種思維滲透在人類獲取新知識(shí)、新理論以及解決新問(wèn)題的各個(gè)領(lǐng)域。如果說(shuō)人的思維是一種網(wǎng)絡(luò)狀態(tài),各種思維類型相互交織影響人們的認(rèn)識(shí)活動(dòng)和行為方式,那么,其中的邏輯思維就是主線,它發(fā)揮著制約、協(xié)調(diào)、牽動(dòng)全局的作用。
初中數(shù)學(xué)中幾何是很重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而幾何證明的推導(dǎo)過(guò)程則恰恰是邏輯思維的體現(xiàn)，在證明過(guò)程中，按照證明中推理的思路順逆的不同，證明方法可分為分析法和綜合法。
分析法，它是未知到已知的推理方法，這是初中幾何教學(xué)中常見(jiàn)的方法，具體的講就是從未知看需知，逐步靠攏已知的過(guò)程。
綜合法，它是由已知引導(dǎo)到未知的推理方法，具體一點(diǎn)說(shuō)它是“從已知，看可知，逐步推向未知”的過(guò)程。
分析法與綜合法是兩種不同的思維方法，它們還是有區(qū)別的，一個(gè)是從條件出發(fā)推導(dǎo)出結(jié)論，一個(gè)是從結(jié)論出發(fā)尋找條件，兩者思考是順逆相反的，但它們又是相聯(lián)系的，不可分割的，通常我們?cè)谒伎家粋€(gè)問(wèn)題時(shí)，既有分析，又有綜合，分析綜合的過(guò)程就是大腦進(jìn)行邏輯推理的過(guò)程，考驗(yàn)人嚴(yán)密的邏輯思維能力。
但是隨著邏輯思維在幾何中的主導(dǎo)作用，不少人對(duì)其在幾何中的作用有所夸大或者認(rèn)識(shí)存在偏差，認(rèn)為邏輯思維是解決問(wèn)題的唯一通道，從而忽略了形象思維在幾何證明中發(fā)揮的作用，幾何圖形常常引起我們的想象，給我們很多的啟迪．我們利用幾何圖形進(jìn)行形象思維,再綜合演繹推理、歸納推理和類比推理等,將直覺(jué)思維和抽象思維結(jié)合，形成一定的思維模式,將人們已有的知識(shí)分門別類,把有邏輯聯(lián)系的內(nèi)容集中在一起,碰撞出認(rèn)識(shí)的火花,從而實(shí)現(xiàn)思維活動(dòng)目標(biāo)。
所以幾何證明的推導(dǎo)過(guò)程是邏輯思維和形象思維相結(jié)合的過(guò)程，二者是互相滲透,交錯(cuò)運(yùn)用。
幾何學(xué)研究的是規(guī)律
比如，等腰三角形的性質(zhì)“等腰三角形兩底角相等（即等邊對(duì)等角）”，顯然說(shuō)的就是一條規(guī)律，因?yàn)檫@并不是針對(duì)具體的某一個(gè)幾何圖形得出的結(jié)論，而是對(duì)任何有兩條邊相等的三角形都成立的命題，這樣的三角形有無(wú)窮多個(gè)，不可能將其全部畫出一一進(jìn)行核實(shí)，只能通過(guò)抽象的邏輯推理才能確認(rèn)結(jié)論是否成立。否則，即使畫出億萬(wàn)個(gè)等腰三角形核實(shí)了兩底角相等，也不能證明結(jié)論成立，也許下一個(gè)等腰三角形就不相等了呢！當(dāng)然，經(jīng)驗(yàn)論者能夠接受這個(gè)結(jié)論，但是經(jīng)驗(yàn)論本身就承認(rèn)其經(jīng)驗(yàn)存在出錯(cuò)的可能性。然而，在同一個(gè)幾何體系中（下同），若命題經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)確認(rèn)成立，則不存在任何出錯(cuò)的可能性！
邏輯嚴(yán)密的幾何學(xué)
因?yàn)?，只有這樣的命題才能用于新的邏輯推導(dǎo)中，才能成為幾何邏輯體系中的一員，所以必須確保命題的絕對(duì)正確性。事實(shí)上，整個(gè)幾何邏輯體系就是這樣一層一層建立起來(lái)的，具有絕對(duì)正確性，所以能長(zhǎng)存不衰！自從兩千多年前歐幾里德在《幾何原本》中首次采用這種方式建立歐氏幾何以來(lái)，該方法被后人廣泛應(yīng)用于非歐幾何、科學(xué)、哲學(xué)甚至倫理學(xué)和神學(xué)等思維領(lǐng)域的研究之中。
所以，幾何雖然常常表現(xiàn)為一些簡(jiǎn)單的圖形，但這些圖形本身并不是幾何研究的目的，圖形表達(dá)的規(guī)律才是幾何研究的目的，所以說(shuō)幾何本質(zhì)上其實(shí)是邏輯，當(dāng)然這里實(shí)際上更應(yīng)該說(shuō)是“幾何學(xué)”。
“幾何學(xué)”與經(jīng)驗(yàn)論的本質(zhì)區(qū)別是其結(jié)論是否絕對(duì)正確。對(duì)經(jīng)驗(yàn)論來(lái)說(shuō)，通過(guò)某些具體情形下的正確結(jié)論來(lái)大致判斷其它類似情形下是否正確，并不能確保正確，在一些不重要的場(chǎng)合沒(méi)其它辦法時(shí)才勉強(qiáng)使用，而幾何結(jié)論需要能在任何情況下均可放心使用并確保正確。
也正因?yàn)槿绱?，幾何學(xué)常常對(duì)一些看起來(lái)很“常識(shí)”性的命題也要進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)。整個(gè)歐氏幾何中龐大的命題體系中，只有五個(gè)“公設(shè)”不需要證明，其余命題都經(jīng)過(guò)了嚴(yán)密的邏輯證明，可以確保在歐氏體系中絕對(duì)正確。
如以下命題，雖然憑直觀可確認(rèn)是正確的常識(shí)性命題，但在《幾何原本》中都使用定義、公設(shè)、公理作了嚴(yán)密的邏輯證明：
命題1：以一條已知線段為邊可作等邊三角形；
命題2：以任意點(diǎn)為端點(diǎn)可作一條與已知線段長(zhǎng)度相等的線段；
命題10：可以在線段上取一個(gè)中點(diǎn)；
看到這些命題，牛頓認(rèn)為《幾何原本》只是一本研究常識(shí)問(wèn)題的書，從而忽視了它的重要性。后來(lái)因此遇到了挫折，牛頓又重新學(xué)習(xí)研究了《幾何原本》，完善了邏輯思維體系，他的不少著作都有明顯的《幾何原本》邏輯體系的影子，最后做出了巨大的科學(xué)貢獻(xiàn)。
綜上所述，可知幾何誕生之初就含有邏輯基因，事實(shí)上，整個(gè)幾何體系都是在邏輯的土壤中建立起來(lái)的，幾何的本質(zhì)就是一種形式邏輯，學(xué)習(xí)和研究幾何的主要意義就在于提高邏輯思維能力。
