鞏固基礎(chǔ)，提升認識
-----《分式方程復(fù)習(xí)課》教學(xué)設(shè)計
褚愛華（山東省濟南育英中學(xué)）
內(nèi)容簡析
北師大版《義務(wù)教育課程標準實驗教科書》八年級下冊三章《分式》第二單元.
本節(jié)課復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容是分式方程的概念、解法及應(yīng)用，是對分式方程單元學(xué)習(xí)的梳理、歸納、深化和鞏固.解分式方程的基本思想是通過“轉(zhuǎn)化”，將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，所以也是對一元一次方程的復(fù)習(xí). 分式方程是將具體問題數(shù)學(xué)化的重要模型，通過復(fù)習(xí)能夠幫助學(xué)生更好的形成建立數(shù)學(xué)模型的意識，強化數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)系.，增根的出現(xiàn)也將會使學(xué)生對字母表示數(shù)有更進一步的理解，因此本節(jié)復(fù)習(xí)可起到鞏固基礎(chǔ)，提升認識的作用.
復(fù)習(xí)內(nèi)容較多，依據(jù)學(xué)生情況，可用一課時或兩課時完成.
教學(xué)目標
1．通過變式練習(xí)復(fù)習(xí)分式方程的概念，體會分式方程的兩個重要特征，會識別分式方程和含有字母已知數(shù)的一元一次方程，加深對分式方程概念的理解.
2．通過解分式方程的訓(xùn)練，進一步鞏固解分式方程的一般步驟，明確可化為一元一次方程的分式方程與一元一次方程的區(qū)別與聯(lián)系，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想..
3．通過對增根的討論，認清關(guān)鍵，突破難點，提高認識.
4．通過層層深入的列分式方程解決實際問題的練習(xí)，經(jīng)歷“實際問題—建立分式方程模型—求解—解釋解的合理性”的過程，發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識.
教學(xué)重點
分式方程的解法以及列分式方程解決實際問題.
教學(xué)難點
對分式方程增根的理解.
難點診斷：其一，解分式方程較之解整式方程對學(xué)生來講難度加大，在將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中，容易出現(xiàn)去分母時漏乘整式項、符號變化錯誤等.其二，學(xué)生對于解分式方程時產(chǎn)生增根的原因有疑惑，解整式方程的思維定勢對于解分式方程的步驟、檢驗等會有負遷移.
方法闡釋
復(fù)習(xí)本單元知識時，將以層層深入的練習(xí)為主線，通過精選典型例題，暴露學(xué)生的思維，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的問題和疑惑，一方面鞏固基礎(chǔ)知識，一方面解決新問題，促進學(xué)生在該知識點的發(fā)展，幫助學(xué)生形成完整的知識結(jié)構(gòu)，達到復(fù)習(xí)的目的.同時將有效利用信息技術(shù)，幫助學(xué)生分析問題，指導(dǎo)解題方法.
教學(xué)流程
【設(shè)計意圖】在進行復(fù)習(xí)之前，教師帶領(lǐng)學(xué)生以結(jié)構(gòu)圖的形式精要梳理本單元重點知識，使學(xué)生形成清晰的思路，以便更好地完成復(fù)習(xí)練習(xí).
二、 核心復(fù)習(xí)
活動1：考考你（考察學(xué)生對基礎(chǔ)知識的把握）：
1．你能正確識別分式方程嗎？
下列方程是含有x的方程，其中是分式方程的是 （只填序號）.
(1) (2)
(3) 
(4) (5) 
(6) 
(7) (8) (9)
提出問題：(1)什么是分式方程？（學(xué)生回答：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程）
(2)像題3、8中這樣的方程為什么不是分式方程？它們應(yīng)該是什么方程？如何看待其分母中的字母？根據(jù)學(xué)生的回答，幫助學(xué)生總結(jié)以下幾點：
點悟：
（1）分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.分式方程的特征是：①含分母，②分母中含有未知數(shù).分母中是否含有未知數(shù)是區(qū)別分式方程與整式方程的標志.
（2）本例中的方程是關(guān)于x的方程，未知數(shù)是x，其他字母皆為字母系數(shù).要注意分式方程與含有字母已知數(shù)方程的區(qū)別.
（3）分式方程的定義是形式上的定義.
（4）分式方程與整式方程統(tǒng)稱為有理方程.如就不是分式方程.
【設(shè)計意圖】以上教學(xué)設(shè)計，不是簡單的讓學(xué)生重復(fù)概念，而是通過展示一組有一定難度的方程讓學(xué)生進行辨別，在此過程中學(xué)生必將調(diào)動自己對分式方程概念的理解，同時還要注意區(qū)分分式方程與整式方程，3、8中輔助字母的設(shè)計又幫助學(xué)生理解分式方程概念的關(guān)鍵點——分母中含有未知數(shù)，所以本設(shè)計可以說是站在較高的層次上對分式方程概念的復(fù)習(xí)，達成核心目標.點悟中所設(shè)計的問題（3）、（4）是對學(xué)生提出的發(fā)展性目標.
2．你會解分式方程嗎？
解下列分式方程：
（1） （2）
分析：(1)為確定最簡公分母，各分母必須按照未知數(shù)的降冪排列，確定最簡公分母是
2x-5；(2)將各分母按x的降冪排列，并分解因式確定最簡公分母是（x-2）(x-3).
解：（1）原方程可變?yōu)椋?/span>，
方程兩邊同乘以（2x-5）得：x -5-（2x-5）= 0，
解得：x = 0，
檢驗：把x = 0帶入最簡公分母2x - 5 = -5≠0，
∴ x = 0是原方程的根.
（2）原方程可變?yōu)椋?/span>，
方程兩邊同乘以（x-2）(x-3)得：x（x-3）-（1-x2）=2x（x-2），
解得：x = 1，
檢驗：把x = 1帶入最簡公分母（x-2）(x-3) =（1-2）(1-3)≠0，
∴ x = 1是原方程的根.
讓學(xué)生獨立解方程的基礎(chǔ)上總結(jié)以下解題步驟：
點悟：1.解分式方程的一般步驟：
（1） 去分母，即在方程兩邊都乘以最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；
（2） 解這個整式方程；
（3） 驗根：把整式方程的根帶入最簡公分母，使最簡公分母不等于0的根是原方程
的根，使最簡公分母等于0的根是原方程的增根，必須舍去；
但是，此種驗根方法并不能驗出解方程過程中出現(xiàn)的計算錯誤，因此還可以采用另一種
驗根方法，即把所求得的未知數(shù)的值帶入原方程進行檢驗.
2. 思維悟區(qū)分析：
(1) 最簡公分母確定的不準確；
(2) 去分母時漏乘整式項；
(3) 區(qū)分母時忽略符號的變化；
(4) 忘記驗根.
【設(shè)計意圖】因為解分式方程是要求學(xué)生掌握的基本技能，所以先讓學(xué)生解方程，通過獨立解題，復(fù)習(xí)解方程的一般步驟，再通過學(xué)生出現(xiàn)的問題，反思解題中常出現(xiàn)的錯誤，從正反兩個方面加深學(xué)生對知識的理解.所選兩個例題有一定的代表性.
活動2：直擊難點（討論增根的問題）：
1. 討論：增根到底從哪里來？
2．下面分式方程的解法是否正確？談?wù)勀愕南敕?/span>.
分式方程的增根是它變形后整式方程的根，產(chǎn)生增根的原因是由在分式方程的左右兩邊乘的最簡公分母是0造成的，所以使最簡公分母為0的未知數(shù)的值均有可能是增根，而且增根只有可能在這些值中出現(xiàn).
在上例中若采用這種解法：解：
2x-5 ≠ 0 ，∴ x = 0是原方程的根.
采用以上解法就避免了增根的出現(xiàn).你對這種解法有什么看法？兩種解法矛盾嗎？
3．靈活應(yīng)用：當m為何值時，解方程： 會產(chǎn)生增根？
分析：當方程的解使分式方程的某個分母值為0時，這個解就是此分式方程的增根..因此應(yīng)先解方程，用含m 的代數(shù)式表示x，再根據(jù)增根的條件進行討論，求出m 的值.
解：（1）方程兩邊同乘以（x 1）（x-1）得：2（x-1）-5（x 1）= m
解得：
當x=1或x=-1時，原方程有增根，
即： 或
解得：m = -10 或 m = -4，
∴當m = -10 或 m = -4時，方程 會產(chǎn)生增根.
【設(shè)計意圖】由于分式方程的增根問題是學(xué)生理解上的難點，學(xué)生在學(xué)過的情況下可能還會存在疑惑，因此安排了“直擊難點”這一專題，帶領(lǐng)學(xué)生討論增根的問題.所選例題是在理解增根基礎(chǔ)上的靈活應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生較好的理解增根概念，并能利用其解決問題.
活動3：學(xué)以致用（對分式方程知識的靈活應(yīng)用）：
我國著名的數(shù)學(xué)大
例1：買西瓜的問題（復(fù)習(xí)分式的應(yīng)用）
買西瓜時都是以斤論價，我們都希望瓜瓤部分占整個西瓜的比例越大越好.如果一批西瓜的瓜皮厚度都是d，請問是買大西瓜合算還是買小西瓜合算？
分析：本題為分式的應(yīng)用，要想知道購買大西瓜合算還是購買小西瓜合算，需要計算可食用部分的多少，應(yīng)從尋求比例入手.
解：設(shè)西瓜的半徑R，則：
整個西瓜的體積=，西瓜瓤的體積=，
則，
利用“z z”課件展示，讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)的變化得出結(jié)論：R越大，越小，則1–越大，從而可以食用的部分占整個西瓜的比例越大，所以購買大西瓜更合算.
例2：某自來水公司水費計算辦法如下：若每戶每月用水不超過
分析: 列分式方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出相等關(guān)系,分析出數(shù)量關(guān)系, 從而恰當?shù)脑O(shè)出未知數(shù), 列出方程. 此題的主要等量關(guān)系是:：張家用水量 = 李家用水量?,
所以應(yīng)首先表示出兩家的用水量,這可以用水費除以水的單價得出,但要注意水費是由兩部分組成的:
解:設(shè)超過
根據(jù)題意得: .
解得: x = 2.
經(jīng)檢驗, x = 2是所列方程的根.
答: 超過
活動4：開放創(chuàng)新點擊:
兩名教師帶若干名學(xué)生去旅游.甲公司給出的優(yōu)惠條件是: 一名教師收全票價, 其余按7.5折;乙公司給的優(yōu)惠條件是:全部按8折收費. 經(jīng)核算甲公司的優(yōu)惠價比乙公司的優(yōu)惠價便宜. 問參加旅游的學(xué)生人數(shù)是多少?
解:設(shè)有學(xué)生x人,全票價為a元.
根據(jù)題意,得: .
約去a得: .
解得: x = 8.
經(jīng)檢驗: x = 8是原方程的根.
點悟：有時為了列方程需要引入輔助未知數(shù)，在解題中消去這個未知數(shù)，即通常所說
的“設(shè)而不求”，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法.
活動5：自主探究平臺（行船問題，考查學(xué)生分析較復(fù)雜應(yīng)用題的能力）：
一小船由A港到B港順流需行6小時，由B港到A港逆流需行8小時.一天，小船從早晨6點由A港出發(fā)順流到達B港時，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小時后找到救生圈.
問：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少時間？
（2）救生圈是何時掉入水中的？
分析：本題是在水中的行船問題，運動過程比較復(fù)雜，所設(shè)計的基本關(guān)系除了路程、速度與時間之間的關(guān)系以外，還涉及到順流速度和逆流速度，另外，從A港到B港的路程不知道，可以將其設(shè)為單位1，由題可知順流速度為，逆流速度為 .第二問的解答有一定困難，可通過“Z Z”課件展示運動過程，引導(dǎo)學(xué)生找出路程上的等量關(guān)系：救生圈掉落水中漂流的路程 小船返回逆流趙救生圈的路程=小船從救生圈掉落水中到發(fā)現(xiàn)救生圈丟落這段時間內(nèi)水流的路程.
解：（1）設(shè)小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小時.
根據(jù)題意，得：—= ，
解方程，得：x = 48，經(jīng)檢驗x = 48是原方程的解.
答：小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小時.
（2）設(shè)救生圈是在y點鐘落入水中的，由題意可知發(fā)現(xiàn)救生圈丟落的時間是12點，根據(jù)題意列方程得：（12-y 1） =（12-y），解方程得：y=11.
答：救生圈是在11點落入水中的.
【設(shè)計意圖】列分式方程解應(yīng)用題是本章的重點和難點，以上為學(xué)生設(shè)計了不同難度、
不同類型的四個題目，一方面復(fù)習(xí)列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，另一方面由于題目有較強的綜合性，可以培養(yǎng)學(xué)生綜合利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.
三、歸納小結(jié)
1．列分式方程解應(yīng)用題和列一元一次方程解應(yīng)用題的基本思路和方法是一樣的,不同的是因為有了分式的概念, 表示數(shù)與數(shù)的相互關(guān)系的代數(shù)式不再受整式的限制, 列等量關(guān)系式時更直接了.
列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟:
(1)審:審清題意;
(2)設(shè):恰當?shù)脑O(shè)出未知數(shù);
(3)找:找出題目中的等量關(guān)系;
(4)列:列分式方程;
(5)解:解分式方程;
(6)驗:檢驗,既要檢驗所得到的根是否是原分式方程的根,又要檢驗是否符合題意;
(7)答:寫出解答.
2．解分式方程的基本思想方法是：分式方程 →去分母 →整式方程，突出體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 轉(zhuǎn)化思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，它的應(yīng)用非常廣泛.應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想可以把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，化未知為已知.本章中多處應(yīng)用了轉(zhuǎn)化思想，例如：
分式除法→分式乘法，異分母分式加減法 → 同分母分式加減法等.
四、作業(yè)(一題多解，開拓思維)
請用兩種方法解下列問題：
某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期3天完成.現(xiàn)由甲、乙兩隊合做2天，剩下的工程由乙獨做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天?
教學(xué)設(shè)計說明
1、本課的教學(xué)設(shè)計通過整體——部分——整體的思路，首先通過知識結(jié)構(gòu)圖，使學(xué)生對本章知識有系統(tǒng)的把握，構(gòu)建了完整的知識結(jié)構(gòu)，再通過層層遞進的變式練習(xí)，較好的達到復(fù)習(xí)鞏固的目的.本設(shè)計所復(fù)習(xí)的內(nèi)容是考查的熱點之一，填空、選擇、解答題、應(yīng)用題是常見的題型，都一一進行訓(xùn)練.本單元所設(shè)計的知識是分式方程的初步應(yīng)用，且僅為可化為一元一次方程的分式方程，將來還要學(xué)到可化為一元二次方程的分式方程，與本章知識有密切聯(lián)系.
2、利用了“Z Z智能教育平臺”數(shù)據(jù)處理功能和動畫演示功能展示數(shù)據(jù)的變化情況更為直接，給學(xué)生動態(tài)的感覺，再根據(jù)代入數(shù)值進行檢驗，數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生很好地理解題意.利用課件的動態(tài)演示應(yīng)用題的情景，能夠使復(fù)雜的運動變化過程較為清晰的呈現(xiàn)在學(xué)生面前，變動態(tài)為靜態(tài)，使題目中的數(shù)量關(guān)系清晰明了，形象直觀.
此文發(fā)表于《中國數(shù)學(xué)教育》
