談到數(shù)學(xué)思維，肯定與“抽象化”分不開。
幼小的孩子思維很具象，習(xí)慣于形象思維，所以他們對(duì)“數(shù)”的理解，離不開實(shí)物，他們無(wú)法想象100個(gè)物體，他們能夠數(shù)，卻不能對(duì)數(shù)字進(jìn)行操作，到了學(xué)前，家長(zhǎng)可能會(huì)發(fā)現(xiàn)孩子能夠回答你一些問(wèn)題，比如你有兩個(gè)蘋果，媽媽再給你三個(gè)蘋果，你有幾個(gè)蘋果？孩子能夠很快回答你“5個(gè)”，但是他們卻不能回答2+3=？，為什么呢？因?yàn)樗麄冞€不能夠理解算式這種抽象的表達(dá)。再到了小學(xué)，孩子可以做加減乘除運(yùn)算了，但是他們卻不能理解A+B=16，A-B=10，兩個(gè)算式可以相減，為什么呢？因?yàn)樗麄冞€沒有代數(shù)思維，無(wú)法理解符號(hào)的意義。
有人覺得，孩子未來(lái)不需要成為數(shù)學(xué)家，科學(xué)家，甚至不一定從事理科工作，沒有必要學(xué)數(shù)學(xué)；
又有人覺得以前學(xué)的數(shù)學(xué)都沒什么用，生活工作根本觸及不到，早就忘記了；
還有人覺得，學(xué)數(shù)學(xué)不就是為了升學(xué)么！
以上理由都不是重點(diǎn)，我認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最大的收獲，是抽象思維的提升。一個(gè)人一旦具有良好的抽象思維能力，那么學(xué)習(xí)任何學(xué)科都是能夠勝任的，或者說(shuō)就具有了“學(xué)霸”的特質(zhì)，可能成為一個(gè)高效學(xué)習(xí)者。
高效！這個(gè)詞是重點(diǎn)！
劃重點(diǎn)了，其他都是廢話，專業(yè)的內(nèi)容也不用看，甚至你可能都不理解什么是“抽象化”“抽象思維”，那么都別管了，你需要理解一點(diǎn)就是：學(xué)好數(shù)學(xué)，能夠讓一個(gè)人學(xué)習(xí)變得高效。
為什么？因?yàn)楦叨瘸橄蠡乃季S方式可以大大縮短學(xué)習(xí)的時(shí)間，縮短你需要理解一樣事物一個(gè)概念一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)間。
那么如何提高抽象化程度呢？
讓我們反過(guò)來(lái)看看數(shù)學(xué)輔導(dǎo)這件事。
如果你沒有把握住上面這篇廢話的重點(diǎn)，你可能就不能理解為什么我們要這么輔導(dǎo)孩子。
下面這個(gè)問(wèn)題是昨天群里家長(zhǎng)提的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)有事，沒有及時(shí)回，結(jié)果看到后面一大撥討論，那會(huì)兒我還在哄小寶睡覺，但是看不下去了，實(shí)在忍不住就給回答了。
今天寫出來(lái)給大家看一下，看到這樣一道題目，首先要抓住的是題目當(dāng)中出現(xiàn)了三個(gè)等量關(guān)系，這三個(gè)關(guān)系，我們需要讓孩子關(guān)注到，并且讓孩子學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化成為一種數(shù)學(xué)的邏輯，或者說(shuō)一種這個(gè)年齡孩子能夠理解的原理（我估計(jì)這是一年級(jí)下孩子的題目）。
我選擇了兩個(gè)等量關(guān)系用下面這種樹狀圖來(lái)表示，目的是什么？
為了讓兒童去理解這里關(guān)鍵的邏輯是：整體部分的邏輯關(guān)系。
而關(guān)鍵的條件是，整體都是同樣的，沒有變過(guò)，因此我們可以通過(guò)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，去形成另外一個(gè)等量關(guān)系——
也就是：小紅+1元=3元。
上面這個(gè)算式其實(shí)不必表達(dá)出來(lái)，用語(yǔ)言就能夠讓孩子理解，小紅與1元合起來(lái)就等于3元，因?yàn)閮蛇叾加行√m，所以剩下來(lái)的就應(yīng)該相等。
也就是說(shuō)這道題目是經(jīng)典的兩步運(yùn)算題，如果說(shuō)要讓孩子掌握什么，不是怎么畫圖，線段圖也好，樹狀圖也好，方框圖也好，不管什么圖，都離不開整體部分的邏輯，如果你希望孩子收獲到的是一種“抽象思維”，而不是模仿你解題的“形象思維”，不要把功夫花在無(wú)關(guān)緊要的事物上，而應(yīng)該聚焦在等量關(guān)系上，用越簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)越好。
這樣的表達(dá)，另一個(gè)好處是，你可以留給孩子一點(diǎn)思考空間，如下圖上寫的：比較一下，一一對(duì)應(yīng)起來(lái)看一看。
這樣，你教的是數(shù)學(xué)思維。
其實(shí)上面這道題目讓我想到了之前家長(zhǎng)的一個(gè)問(wèn)題，我也寫過(guò)文章，請(qǐng)看下面這道題目，文章可以延伸閱讀——
數(shù)學(xué)出現(xiàn)錯(cuò)題，你知道應(yīng)該怎樣講題嗎？
具體我不重復(fù)寫了，大家可以看上面鏈接里的第二道錯(cuò)題解析。
這里劃重點(diǎn)：你需要從最基礎(chǔ)的概念入手去進(jìn)行講解，不要自認(rèn)為孩子應(yīng)該知道，知道概念，和能夠抽象化為數(shù)學(xué)關(guān)系加以靈活應(yīng)用，其實(shí)是兩碼事，大部分時(shí)候，你認(rèn)為“孩子知道概念”，僅僅是孩子知道某個(gè)事實(shí)，但并不是概念本身。
同樣我也講解過(guò)的一類題目，屬于兩個(gè)對(duì)象之間同時(shí)發(fā)生變化的問(wèn)題，常常是二年級(jí)小朋友遇到的難題，有時(shí)候也會(huì)在一年級(jí)出現(xiàn)。
下面這道題目，我在講數(shù)軸的文章中講過(guò)：
大家可以延伸閱讀——
[同步訓(xùn)練] 動(dòng)態(tài)問(wèn)題：我給了你5枚金幣，變化了多少？
解答上提的方法，以及數(shù)軸圖，請(qǐng)看上面延伸閱讀的鏈接；不過(guò)班級(jí)家長(zhǎng)又問(wèn)了另外一種方法，但是始終沒有想明白，這里我也畫一下第二種思考方法：
如果從哥哥的視角看，一開始哥哥比弟弟多10支鉛筆，這里我們把這個(gè)比較量看成是初始的值，那么結(jié)果就變成了哥哥比弟弟多2支，從多10支變到多2支，中間變化了多少？變化了8，這個(gè)8的方向與10和2的方向不同，相對(duì)于哥哥來(lái)講，是減少的，所以我們用減號(hào)表達(dá)（注意這里我們不出現(xiàn)負(fù)數(shù)概念，因?yàn)槊鎸?duì)的是低年級(jí)小朋友，減號(hào)這里代表減少的意思）
但是要注意的是，這里的8并不等于哥哥給弟弟的鉛筆數(shù)，而只是相對(duì)于哥哥與弟弟的差值來(lái)講，減少了8，那么對(duì)于哥哥給弟弟多少，就可以通過(guò)數(shù)軸去理解，是8的一半，也就是4。
這里的抽象化在于兩點(diǎn)：第一我們需要讓孩子注意到數(shù)學(xué)中數(shù)量的相對(duì)性，就比如：哥哥比弟弟多2支，那么相對(duì)于弟弟來(lái)講，就是弟弟比哥哥少2支；比較這件事始終于視角有關(guān)，所以要帶著孩子轉(zhuǎn)換視角去理解事物。
第二我們需要讓孩子理解變化其實(shí)從來(lái)就不會(huì)是單向的，在一個(gè)整體內(nèi)部，數(shù)量的轉(zhuǎn)移，總是伴隨著兩方數(shù)量同時(shí)發(fā)生變化，也因此會(huì)造成兩方數(shù)量差的擴(kuò)大，這一點(diǎn)象我現(xiàn)在這樣語(yǔ)言去表達(dá)，去灌輸是沒有用的，而是需要把這種數(shù)學(xué)關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)，最為清晰的方式就是“數(shù)軸”，也可以通過(guò)觀察兩個(gè)等式中加項(xiàng)之間的關(guān)系獲得。
總而言之，如果你想提升孩子抽象能力，你需要教孩子學(xué)會(huì)觀察，比較，而不是急于解答題目。
昨天由于第一道簡(jiǎn)單的題目，讓我聯(lián)想到了很多相關(guān)的問(wèn)題，除了上面這些近期講過(guò)的題目，讓我想到去年群里瘋傳的一道題目，號(hào)稱幼升小題目，不過(guò)這種題目考幼兒園孩子，實(shí)在是太荒謬。
但后來(lái)又看到類似一題，據(jù)說(shuō)是小升初題目，其實(shí)只不過(guò)情景變了一下，完全一摸一樣的邏輯，居然一下子提升到了小升初題目了，也真是讓人匪夷所思現(xiàn)在的數(shù)學(xué)測(cè)試。
且不論真假，下面大家就對(duì)比兩道題目來(lái)看一下吧。
第一題是關(guān)于桌子和貓的，下面的圖是當(dāng)時(shí)我回答班級(jí)家長(zhǎng)的問(wèn)題，家長(zhǎng)問(wèn)如何用時(shí)間線來(lái)解決，時(shí)間線這個(gè)工具既然是我發(fā)明的，自然難不倒我，哈哈，刷刷刷，我當(dāng)時(shí)就畫出來(lái)了，但是估計(jì)沒有上過(guò)我課的家長(zhǎng)，看懂的不多，我這里也不便再解釋了，大家自己琢磨理解。
重點(diǎn)我來(lái)講第二題。
第二題，只是變成了桌子與木塊，其實(shí)都是一樣的，貓和木塊是“同樣的事物”，在數(shù)學(xué)的抽象性中，就可以理解為，提供了一個(gè)物體兩種狀態(tài)下的“高度差”，高度差是重點(diǎn)。
這道題目如果以小升初的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)講，或者至少是小學(xué)中高年級(jí)孩子，我們需要孩子不僅僅能夠解答出題目，而且要用合適的思考方法。
如果你教孩子用方程，你教孩子畫圖，你教孩子把桌子木塊挪來(lái)挪去，你解答出這道題目了，但卻并沒有讓孩子收獲到數(shù)學(xué)思維，孩子可能習(xí)得的只是在這個(gè)情景下的一種特定的方法，他記住了，可能期望下次遇到同樣的題目來(lái)用一用。又或者，孩子通過(guò)挪來(lái)挪去的方法，習(xí)得的是解決類似問(wèn)題就需要把木塊桌子挪來(lái)挪去，不管他多大了，多高年級(jí)了，思維就仍然停留在那個(gè)形象的階段，無(wú)法突破到高層次的抽象化階段。
下圖就是我用來(lái)解析上題的較高抽象化水平的思考方式。
請(qǐng)從左往右看思維過(guò)程：
首先：要分解出三個(gè)對(duì)象，看清是三個(gè)對(duì)象之間存在的一種復(fù)雜關(guān)系；
第二：理解這題不同于前面幾題，這里的整體是變化的；
第三：既然是變化的，自然會(huì)注意到變化了多少，整體變化了10cm；
第四：從因果邏輯來(lái)講，我們自然會(huì)考慮變化是由于什么造成的？這里是由于B和C兩個(gè)對(duì)象造成的，用數(shù)學(xué)關(guān)系表達(dá)就是：一個(gè)是B-C，一個(gè)是C-B；
第五：這個(gè)問(wèn)題就回到了我前面說(shuō)的相對(duì)性問(wèn)題，哥哥比弟弟多2支，意味著弟弟比哥哥少2支。一個(gè)多一個(gè)少，如果再與第三個(gè)對(duì)象產(chǎn)生聯(lián)系，那么就會(huì)產(chǎn)生雙倍效應(yīng)，也就是說(shuō)一種情況是在桌子高度上增加了一個(gè)值，另一種情況是在桌子的高度上減少一個(gè)值，兩種情況差10的話，自然這個(gè)值就是10的一半，這個(gè)問(wèn)題又是與前面數(shù)軸問(wèn)題是一樣的。（數(shù)軸圖我就省略了）
第六：知道了差值后，我們又回到了整體部分關(guān)系，桌子高度加一個(gè)值得到80，或桌子高度減一個(gè)值得到70，我們逆轉(zhuǎn)一下關(guān)系，自然就能求得桌子高度是75。
以上思考方式屬于更高階層的抽象化的思考方式，但是很顯然，要達(dá)到這樣的抽象化程度，就需要你在輔導(dǎo)孩子前面那些簡(jiǎn)單問(wèn)題的時(shí)候，用對(duì)方法，這樣思維才能逐級(jí)提升，直到解答最后這道題目的時(shí)候，可以綜合運(yùn)用之前的數(shù)學(xué)思維模式，上升到一個(gè)新的高度。
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