科學(xué)計(jì)算：Python VS.MATLAB(3)----線性代數(shù)基礎(chǔ)
一、線形代數(shù)理論基礎(chǔ)
二、MATLAB的處理
1.建立矩陣
MATLAB中，矩陣是默認(rèn)的數(shù)據(jù)類型。它把向量看做1×N或者N×1的矩陣。
%建立了一個(gè)行向量，不同元素之間使用空格或者逗號(hào)分開都是可以的。
A=[1,2,3]
%建立一個(gè)矩陣，使用分號(hào)隔開不同的行。
A=[1,2,3;4,5,6]
%那么，建立一個(gè)列向量就好辦了。每行一個(gè)元素，分號(hào)分開即可。當(dāng)然也可以使用行向量的轉(zhuǎn)置（一個(gè)撇號(hào)表示轉(zhuǎn)置）。
A=[1;2;3]
MATLAB內(nèi)置了很多特殊的矩陣生成函數(shù)，建立特殊矩陣十分方便。
i)第一組用來生成特殊規(guī)則的矩陣。如全零、全一、隨機(jī)、等步長等形式。
X=zeros(m,n)
%生成一個(gè)m*n的全0矩陣。同理，ones(m,n)生成一個(gè)全1矩陣；eye(m,n)生成一個(gè)單位陣。它們的重要作用在于預(yù)先分配矩陣空間，所以，在預(yù)知矩陣規(guī)模但是不知道矩陣具體數(shù)據(jù)的情況下，先用這幾個(gè)函數(shù)生成一個(gè)矩陣，對(duì)提高運(yùn)算速度十分有用。
X=rand(m,n)
%生成一個(gè)平均分布的隨機(jī)矩陣，數(shù)值區(qū)間[0,1]。同理，randn(m,n)生成一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)矩陣。注意，這些所謂的隨機(jī)實(shí)際上都是偽隨機(jī)。
v=linspace(a,b,n)
%產(chǎn)生線性空間矢量。a和b分別是起點(diǎn)和終點(diǎn)，n是本區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，默認(rèn)100個(gè)點(diǎn)。同理，logspace(a,b,n)產(chǎn)生對(duì)數(shù)空間矢量。不過它默認(rèn)點(diǎn)數(shù)是50個(gè)。
v=1:0.1:10
%產(chǎn)生一個(gè)線性的矢量。規(guī)格是---起點(diǎn)：步長值：終點(diǎn)
ii)第二組用來在原有矩陣基礎(chǔ)上獲得一個(gè)具有某些特征的矩陣。
X=diag(v,k)和v=diag(X,k)
%前者用矢量v中的元素生成一個(gè)對(duì)角矩陣，k是對(duì)角移位因子，默認(rèn)為0，即主對(duì)角。k>0，對(duì)角線右移。后者返回矩陣X的對(duì)角元素，存在矢量v中。k的意義相同。
X1=triu(X,k)和X1=tril(X,k)
fliplr(X)/flipud(X)/rot90(X)
%這都是對(duì)矩陣的翻轉(zhuǎn)操作，獲得新的矩陣。分別是左右翻轉(zhuǎn)（left-right）、上下翻轉(zhuǎn)（up-down）和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°操作。
iii)第三組用來生成一些具有理論價(jià)值的，往往是以數(shù)學(xué)家命名的矩陣。
magic(n)生成行列相加均為同一個(gè)數(shù)字的方陣。pascal(n)生成帕斯卡爾矩陣。hilb(n)生成希爾伯特矩陣。vander(v)生成范德蒙德矩陣。等等。
這些矩陣一般都有相應(yīng)的學(xué)術(shù)背景，用到的時(shí)候，可以用命令helpelmat在最后一個(gè)欄目中看看有沒有自己要找的特殊矩陣，如果有，點(diǎn)進(jìn)去進(jìn)一步研究即可。
2.矩陣的特征信息
size(X)
length()
ndims()
numel()
isempty()和isequal()等is*型函數(shù)
[V,D] =eig(A)
k =rank(A)
b =trace(A)
d =det(X)
Y =inv(X)
n =norm(X,option)
c =cond(X)
3.矩陣分解
矩陣分解是矩陣論的重要內(nèi)容。常用的分解形式在MATLAB中都有函數(shù)予以實(shí)現(xiàn)，并且有些分解考慮了多種情況。常見的如：eig()、qr()、schur()、svd()、chol()、lu()等。具體使用的時(shí)候
4.矩陣運(yùn)算
MATLAB默認(rèn)的是矩陣運(yùn)算，所以如果想要按元素依次計(jì)算，在原來運(yùn)算符前加一個(gè).號(hào)。比如.*表示按元素相乘。
每一個(gè)運(yùn)算符都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)。如：
A+B=plus(A,B)、A-B=minus(A,B)
A*B=mtimes(A,B)、A.*B=times(A,B)
A/B=mrdivide(A,B)、A./B=rdivide(A,B)、A\B=mldivide(A,B)、A.\B=ldivide(A,B)
A^B=mpower(A,B)、A.^B=power(A,B)
A'=ctranspose(A)、A.'=transpose(A)
其中的前綴m自然是表示matrix的意思。沒有m前綴的就是按元素進(jìn)行的意思。最后那個(gè)轉(zhuǎn)置操作，c前綴表示的是按照復(fù)數(shù)操作進(jìn)行轉(zhuǎn)置。
此外，還有一些比較常用的運(yùn)算：
C=cross(A,B)
%矢量叉乘。類似的，C=dot(A,B)
B =prod(A,dim)
%數(shù)組元素的乘積，默認(rèn)按列計(jì)算。dim=1是列，dim=2是按行。這個(gè)概念很重要??！
類似的，B = sum(A,dim)
expm()
%矩陣指數(shù)運(yùn)算。與此類似的logm(),sqrtm()。其中，funm(A,fun)用來計(jì)算矩陣A對(duì)通用函數(shù)fun的函數(shù)值。
5.矩陣索引
選擇使用矩陣中的某些元素，就是所謂的矩陣索引了。
A(:,j)
A(:,j:k)
三、Python的處理
Python使用NumPy包完成了對(duì)N-維數(shù)組的快速便捷操作。使用這個(gè)包，需要導(dǎo)入numpy。SciPy包以NumPy包為基礎(chǔ)，大大的擴(kuò)展了numpy的能力。為了使用的方便，scipy包在最外層名字空間中包括了所有的numpy內(nèi)容，因此只要導(dǎo)入了scipy，不必在單獨(dú)導(dǎo)入numpy了！但是為了明確哪些是numpy中實(shí)現(xiàn)的，哪些是scipy中實(shí)現(xiàn)的，本文還是進(jìn)行了區(qū)分。以下默認(rèn)已經(jīng)：importnumpy as np 以及 impor scipy as sp
下面簡要介紹Python和MATLAB處理數(shù)學(xué)問題的幾個(gè)不同點(diǎn)。1.MATLAB的基本是矩陣，而numpy的基本類型是多為數(shù)組，把matrix看做是array的子類。2.MATLAB的索引從1開始，而numpy從0開始。
1.建立矩陣
a1=np.array([1,2,3],dtype=int)
a2=np.array([[1,2,3],[2,3,4]])
同樣，numpy中也有很多內(nèi)置的特殊矩陣：
b1=np.zeros((2,3))
b2=identity(n)
b3=eye(N,M=None,k=0)
此外，numpy中還提供了幾個(gè)like函數(shù)，即按照某一個(gè)已知的數(shù)組的規(guī)模（幾行幾列）建立同樣規(guī)模的特殊數(shù)組。這樣的函數(shù)有zeros_like()、empty_like()、ones_like()，它們的參數(shù)均為如此形式：zeros_like(a,dtype=)，其中，a是一個(gè)已知的數(shù)組。
c1=np.arange(2,3,0.1)
c2=np.linspace(1,4,10)
d1=np.linalg.companion(a)
d2=np.linalg.triu()/tril()
e1=np.random.rand(3,2)
fliplr()/flipud()/rot90()
xx=np.roll(x,2)
2.數(shù)組的特征信息
先假設(shè)已經(jīng)存在一個(gè)N維數(shù)組X了，那么可以得到X的一些屬性，這些屬性可以在輸入X和一個(gè).之后，按tab鍵查看提示。這里明顯看到了Python面向?qū)ο蟮奶卣鳌?/font>
X.flags
X.shape
X.ndim
X.size
X.itemsize
X.dtype
X.T
X.trace()
np.linalg.det(a)
np.linalg.norm(a,ord=None)
np.linalg.eig(a)
np.linalg.cond(a,p=None)
np.linalg.inv(a)
3.矩陣分解
常見的矩陣分解函數(shù)，numpy.linalg均已經(jīng)提供。比如cholesky()/qr()/svd()/lu()/schur()等。某些算法為了方便計(jì)算或者針對(duì)不同的特殊情況，還給出了多種調(diào)用形式，以便得到最佳結(jié)果。
4.矩陣運(yùn)算
np.dot(a,b)用來計(jì)算數(shù)組的點(diǎn)積；vdot(a,b)專門計(jì)算矢量的點(diǎn)積，和dot()的區(qū)別在于對(duì)complex數(shù)據(jù)類型的處理不一樣；innner(a,b)用來計(jì)算內(nèi)積；outer(a,b)計(jì)算外積。
專門處理矩陣的數(shù)學(xué)函數(shù)在numpy的子包linalg中定義。比如np.linalg.logm(A)計(jì)算矩陣A的對(duì)數(shù)?？梢姡@個(gè)處理和MATLAB是類似的，使用一個(gè)m后綴表示是矩陣的運(yùn)算。在這個(gè)空間內(nèi)可以使用的有cosm()/sinm()/signm()/sqrtm()等。其中常規(guī)exp()對(duì)應(yīng)有三種矩陣形式：expm()使用Pade近似算法、expm2()使用特征值分析算法、expm3()使用泰勒級(jí)數(shù)算法。在numpy中，也有一個(gè)計(jì)算矩陣的函數(shù)：funm(A,func)。
5.索引
numpy中的數(shù)組索引形式和Python是一致的。如：
x=np.arange(10)
printx[2]
printx[-2]
printx[2:5]
printx[:-7]
printx[1:7:2]
x.shape=(2,5)
printx[1,3]
printx[0]
y=np.arange(35).reshape(5,7)
printy[1:5:2,::2]
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作為第一篇正式的介紹技術(shù)操作的文章，終于寫完了，很費(fèi)勁。恰恰就是在這個(gè)費(fèi)勁的過程中，讓我能更好的認(rèn)識(shí)兩者的區(qū)別和聯(lián)系，同時(shí)梳理了展開的思路，摸索出了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的方法。
我們可以看到，MATLAB中實(shí)現(xiàn)了的函數(shù)或者功能，在numpy中都有了對(duì)應(yīng)，并且有些實(shí)現(xiàn)的更好。當(dāng)然，這只是冰山一角。如果你不愿意通讀文檔（很枯燥，誰也不愿意干?。┮矐?yīng)該有理由相信，Python有能勝任工作的實(shí)現(xiàn)已經(jīng)存在。后面的內(nèi)容，將不再這樣列出各種函數(shù)和功能，而是以某一個(gè)實(shí)際問題為核心，進(jìn)行專題式的研究。至于全方位的了解，請(qǐng)自己查閱文檔。有個(gè)經(jīng)驗(yàn)之談，就是，應(yīng)該充分的利用文檔中的【seealso】功能，依此追蹤下去，必然會(huì)獲得關(guān)于某主題的全方位的認(rèn)識(shí)。比如，在查閱ones()的時(shí)候，MATLAB的【seealso】就給出了complex|eye|true|zeros四個(gè)鏈接。這就說明，這幾個(gè)函數(shù)其實(shí)是有關(guān)聯(lián)的，點(diǎn)進(jìn)去進(jìn)行簡單的學(xué)習(xí)，找到共性，那么，可能很多人都遇到過的最大的困惑——那么多函數(shù)怎么記住呀？——就已經(jīng)解決了。因?yàn)?，我們不需要記住所有的函?shù)，我們只需要記住有那么回事，只需要記住一個(gè)類似的函數(shù)，就可以很輕易的在用的時(shí)候順藤摸瓜找出需要的函數(shù)。
下面簡單的給出MATLAB和Python的自查自學(xué)方法吧！
1.MATLAB
help函數(shù)名
%在控制臺(tái)給出某函數(shù)或者主題的幫助信息
doc
%在幫助瀏覽器中給出幫助信息，這個(gè)界面更友好。在helpbrowser中既有MATLAB整個(gè)產(chǎn)品的瀏覽左窗口，也有一個(gè)搜索框。同時(shí)還有大量存在的超鏈接。就一個(gè)感興趣的主題，點(diǎn)下去，全面學(xué)習(xí)。不過要記住:別分神哦~~點(diǎn)到最后都忘了自己究竟要做什么！
lookfor關(guān)鍵詞
%這是一個(gè)模糊尋找，含有關(guān)鍵詞的詞條入口都會(huì)給出來
2.Python
help(np.array)
help(np.add)
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關(guān)于python科學(xué)計(jì)算，隆重推薦sagemath，sage的特點(diǎn)和用法，在本博客較新博文中有介紹。
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